home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Loadstar 12 / 012.d81 / number theory < prev    next >
Text File  |  2022-08-26  |  2KB  |  156 lines
  1.  
  2.            NUMBER THEORY
  3.  
  4.  
  5.  
  6. Elementary number theory is one of the
  7.  
  8. easiest to understand fields of mathe-
  9.  
  10. matics.  Like Euclidean Geometry, it
  11.  
  12. is easy to state the problems and has
  13.  
  14. a simple set of axioms and
  15.  
  16. definitions.
  17.  
  18. Although we will touch only a fraction
  19.  
  20. of the material in number theory, it
  21.  
  22. is our hope that you will pursue it
  23.  
  24. further through the literature.
  25.  
  26. Beginning with Peano's postulates
  27.  
  28. which describe the natural numbers,
  29.  
  30. 1,2,3..., etc., we can develop the
  31.  
  32. entire real number system.
  33.  
  34. The concepts of mathematical induction
  35.  
  36. and well-ordering, or the actual
  37.  
  38. development of the number system will
  39.  
  40. not be covered here.
  41.  
  42. We will discuss divisibility.
  43.  
  44. DEFINITION:  Let A and B be integers.
  45.  
  46. Then we say that A divides B if there
  47.  
  48. exists an integer C such that
  49.  
  50. AC = B.
  51.  
  52. We also say that B is divisible by A.
  53.  
  54. THEOREM: Let A and B be integers.  If
  55.  
  56. A divides B, and if D is any integer,
  57.  
  58. then A divides BD.
  59.  
  60. PROOF:  Since A divides B, there is an
  61.  
  62. integer C such that
  63.  
  64. (1)           AC = B
  65.  
  66. multiplying both sides by D,
  67.  
  68. (2)          ACD = BD.
  69.  
  70. Since CD is an integer and
  71.  
  72.            A(CD) = BD,
  73.  
  74. the definition of 'A divides BD' is
  75.  
  76. satisfied.
  77.  
  78. THEOREM:  Let A, B, and C be integers
  79.  
  80. and suppose that
  81.  
  82. (1)        A + B = C.
  83.  
  84. If D is any integer which divides any
  85.  
  86. two of A, B, and C then it divides the
  87.  
  88. remaining integer.
  89.  
  90. PROOF: To start, let's assume that D
  91.  
  92. divides both A and B.  We must show
  93.  
  94. that D also divides C.
  95.  
  96. Since D divides both A and B, there
  97.  
  98. exist integers E and F such that
  99.  
  100. A = DE and B = DF.  Substituting these
  101.  
  102. values in equation (1) we get
  103.  
  104. (2)       DE + DF = C.
  105.  
  106. By the distributive property
  107.  
  108. (factoring) we see that
  109.  
  110. (3)      D(E + F) = C
  111.  
  112. Thus D divides C (since E + F is an
  113.  
  114. integer).
  115.  
  116. The other cases are handled by
  117.  
  118. reducing them to the case we just did.
  119.  
  120. For example, suppose D divides A and
  121.  
  122. C.  We must show that D divides B.
  123.  
  124. Add -B-C to both sides of equation (1)
  125.  
  126. (4)   A + B + (-B-C) = C + (-B-C)
  127.  
  128. (5)         A + (-C) = -B
  129.  
  130. Now since D divides A and C, it also
  131.  
  132. divides A and -C.  From the above
  133.  
  134. case, D must divide -B. Hence D
  135.  
  136. divides B.
  137.  
  138. For further reading I suggest the
  139.  
  140. following books:
  141.  
  142. ELEMENTARY THEORY OF NUMBERS
  143. by Harriet Griffin
  144. (McGraw Hill)
  145.  
  146. INTRODUCTION TO MODERN ALGEBRA AND
  147. ANALYSIS
  148. by Croud and Walker
  149. (Hold, Reinhart and Winston)
  150.  
  151. A SURVEY OF MODERN ALGEBRA
  152. by Rirkhoff and MacLine
  153. (MacMillan)
  154.  
  155. --------------------------------------
  156.